30주차: 합동과 대칭!
합동인 도형과 선대칭, 점대칭 도형의 특징을 알아봅니다.
준비 됐나요? 함께 도전해봐요! ✨
💡 핵심 개념 설명
안녕하세요! 오늘은 ‘합동과 대칭’에 대해 알아볼 거예요. 합동은 두 도형이 모양과 크기가 완전히 같아서 포개었을 때 겹쳐지는 것을 말해요. 마치 똑같이 생긴 쌍둥이처럼요!
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선대칭 도형은 어떤 선을 기준으로 접었을 때 완전히 겹쳐지는 도형이에요. 데칼코마니 그림처럼요. 🦋 이 선을 ‘대칭축’이라고 불러요.
점대칭 도형은 어떤 점을 중심으로 180도 돌렸을 때 처음 도형과 완전히 겹쳐지는 도형이에요. 바람개비처럼 빙글빙글 돌려도 똑같아 보이죠? 🌀 이 점을 ‘대칭의 중심’이라고 해요.
합동인 도형은 대응하는 변의 길이와 대응하는 각의 크기가 모두 같아요. 선대칭 도형은 대칭축을 기준으로 대응하는 점까지의 거리가 같고, 대칭축과 대응하는 선분은 수직으로 만나요. 점대칭 도형은 대칭의 중심을 기준으로 대응하는 점까지의 거리가 같고, 대응하는 변의 길이와 각의 크기가 같아요. 이 개념들을 잘 기억하며 문제를 풀어볼까요?
문제 1. 다음 중 합동인 도형은 무엇인가요?
(가) 변의 길이가 3cm, 4cm, 5cm인 삼각형
(나) 변의 길이가 3cm, 4cm, 6cm인 삼각형
(다) 변의 길이가 3cm, 4cm, 5cm인 삼각형
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💡 핵심 개념
합동인 도형은 모양과 크기가 완전히 같아서 포개었을 때 겹쳐지는 도형입니다. 삼각형의 경우, 세 변의 길이가 모두 같으면 합동입니다.
📝 풀이 과정
- Step 1. 합동의 의미를 생각해봅니다. 합동은 모양과 크기가 똑같은 것을 말해요.
- Step 2. (가) 삼각형의 변의 길이는 3cm, 4cm, 5cm입니다.
- Step 3. (나) 삼각형의 변의 길이는 3cm, 4cm, 6cm입니다.
- Step 4. (다) 삼각형의 변의 길이는 3cm, 4cm, 5cm입니다.
- Step 5. (가)와 (다)는 세 변의 길이가 각각 3cm, 4cm, 5cm로 모두 같으므로, 모양과 크기가 똑같아요. 따라서 합동입니다. (나)는 변의 길이가 다르므로 합동이 아닙니다.
문제 2. 합동인 두 도형에서 대응하는 변의 길이는 어떤 관계인가요?
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💡 핵심 개념
합동인 도형은 모양과 크기가 완전히 같으므로, 서로 포개었을 때 겹쳐지는 변(대응변)의 길이는 항상 같습니다.
📝 풀이 과정
- Step 1. 합동의 뜻을 떠올려봅니다. 합동은 두 도형이 완전히 똑같이 생긴 것을 말해요.
- Step 2. 만약 두 개의 똑같은 종이 비행기가 있다고 상상해 보세요.
- Step 3. 이 두 비행기를 포개면 완전히 겹쳐지겠죠?
- Step 4. 이때, 한 비행기의 날개 길이와 다른 비행기의 날개 길이는 당연히 똑같을 거예요.
- Step 5. 이처럼 합동인 도형에서는 서로 겹쳐지는 변(대응변)의 길이가 항상 같습니다.
문제 3. 합동인 두 도형에서 대응하는 각의 크기는 어떤 관계인가요?
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💡 핵심 개념
합동인 도형은 모양과 크기가 완전히 같으므로, 서로 포개었을 때 겹쳐지는 각(대응각)의 크기는 항상 같습니다.
📝 풀이 과정
- Step 1. 문제 2번과 마찬가지로, 합동은 두 도형이 완전히 똑같이 생긴 것을 의미해요.
- Step 2. 두 개의 똑같은 피자 조각이 있다고 생각해 보세요.
- Step 3. 이 두 피자 조각을 포개면 완전히 겹쳐지겠죠?
- Step 4. 이때, 한 피자 조각의 뾰족한 부분(각)의 크기와 다른 피자 조각의 뾰족한 부분(각)의 크기는 당연히 똑같을 거예요.
- Step 5. 따라서 합동인 도형에서는 서로 겹쳐지는 각(대응각)의 크기도 항상 같습니다.
문제 4. 선대칭 도형의 대칭축은 무엇인가요?
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💡 핵심 개념
선대칭 도형은 어떤 선을 기준으로 접었을 때 완전히 겹쳐지는 도형입니다. 이때 기준이 되는 선을 대칭축이라고 합니다.
📝 풀이 과정
- Step 1. 선대칭 도형의 정의를 떠올려봅니다. 선대칭 도형은 어떤 선을 중심으로 접으면 양쪽이 똑같이 겹쳐지는 도형이에요.
- Step 2. 예를 들어, 나비의 날개를 생각해 보세요. 나비 몸통을 기준으로 접으면 양쪽 날개가 똑같이 겹쳐지죠?
- Step 3. 이때 나비 몸통처럼, 도형을 접었을 때 양쪽이 완전히 겹쳐지게 하는 선을 ‘대칭축’이라고 불러요.
- Step 4. 대칭축은 도형을 똑같이 반으로 나누는 선이라고 생각할 수 있어요.
문제 5. 다음 중 선대칭 도형이 아닌 것은 무엇인가요?
(가) 원
(나) 정사각형
(다) 일반적인 삼각형
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💡 핵심 개념
선대칭 도형은 대칭축을 기준으로 접었을 때 완전히 겹쳐지는 도형입니다. 모든 도형이 선대칭 도형인 것은 아닙니다.
📝 풀이 과정
- Step 1. 선대칭 도형은 어떤 선을 기준으로 접었을 때 완전히 겹쳐지는 도형이에요.
- Step 2. (가) 원은 지름을 기준으로 접으면 항상 완전히 겹쳐져요. 그래서 원은 선대칭 도형입니다.
- Step 3. (나) 정사각형은 가로, 세로, 대각선을 기준으로 접으면 완전히 겹쳐져요. 그래서 정사각형도 선대칭 도형입니다.
- Step 4. (다) 일반적인 삼각형은 어떤 선을 기준으로 접어도 완전히 겹쳐지지 않는 경우가 많아요. 예를 들어, 세 변의 길이가 모두 다른 삼각형은 선대칭 도형이 아니에요. (정삼각형이나 이등변삼각형은 선대칭 도형이 될 수 있지만, ‘일반적인’ 삼각형은 그렇지 않아요.)
- Step 5. 따라서 일반적인 삼각형은 선대칭 도형이 아니라고 할 수 있습니다.
문제 6. 점대칭 도형의 대칭의 중심은 무엇인가요?
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💡 핵심 개념
점대칭 도형은 어떤 점을 중심으로 180도 돌렸을 때 처음 도형과 완전히 겹쳐지는 도형입니다. 이때 기준이 되는 점을 대칭의 중심이라고 합니다.
📝 풀이 과정
- Step 1. 점대칭 도형의 정의를 떠올려봅니다. 점대칭 도형은 어떤 한 점을 중심으로 180도 돌렸을 때, 원래 도형과 똑같이 겹쳐지는 도형이에요.
- Step 2. 예를 들어, 바람개비를 생각해 보세요. 바람개비의 가운데 축을 중심으로 180도 돌려도 똑같은 모양이죠?
- Step 3. 이때 바람개비의 가운데 축처럼, 도형을 180도 돌렸을 때 처음 도형과 겹쳐지게 하는 점을 ‘대칭의 중심’이라고 불러요.
- Step 4. 대칭의 중심은 도형의 한가운데에 있는 점이라고 생각할 수 있어요.
문제 7. 다음 중 점대칭 도형인 것은 무엇인가요?
(가) 직사각형
(나) 이등변삼각형
(다) 사다리꼴
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💡 핵심 개념
점대칭 도형은 어떤 점을 중심으로 180도 돌렸을 때 처음 도형과 완전히 겹쳐지는 도형입니다.
📝 풀이 과정
- Step 1. 점대칭 도형은 한 점을 중심으로 180도 돌렸을 때 원래 도형과 똑같이 겹쳐지는 도형이에요.
- Step 2. (가) 직사각형을 생각해 보세요. 직사각형의 두 대각선이 만나는 점을 중심으로 180도 돌리면, 원래 직사각형과 완전히 겹쳐져요. 따라서 직사각형은 점대칭 도형입니다.
- Step 3. (나) 이등변삼각형은 180도 돌렸을 때 원래 모양과 겹쳐지지 않아요. (선대칭 도형은 될 수 있지만, 점대칭 도형은 아니에요.)
- Step 4. (다) 사다리꼴도 180도 돌렸을 때 원래 모양과 겹쳐지지 않아요.
- Step 5. 따라서 직사각형이 점대칭 도형입니다.
문제 8. 선대칭 도형에서 대칭축을 기준으로 대응하는 점까지의 거리는 어떤 관계인가요?
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💡 핵심 개념
선대칭 도형은 대칭축을 기준으로 접었을 때 완전히 겹쳐지므로, 대칭축에서 대응하는 두 점까지의 거리는 항상 같습니다.
📝 풀이 과정
- Step 1. 선대칭 도형은 대칭축을 기준으로 양쪽이 똑같이 생겼어요.
- Step 2. 거울을 앞에 두고 내 모습을 보는 것과 같아요. 거울 속 나와 나는 똑같은 거리에 있죠?
- Step 3. 대칭축을 거울이라고 생각하면, 도형의 한 점과 그 점의 ‘짝꿍’인 대응점은 대칭축에서 똑같은 거리에 떨어져 있어요.
- Step 4. 예를 들어, 나비의 왼쪽 날개 끝과 오른쪽 날개 끝은 나비 몸통(대칭축)에서 똑같은 거리에 있어요.
- Step 5. 따라서 선대칭 도형에서 대칭축을 기준으로 대응하는 점까지의 거리는 항상 같습니다.
문제 9. 점대칭 도형에서 대칭의 중심을 기준으로 대응하는 점까지의 거리는 어떤 관계인가요?
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💡 핵심 개념
점대칭 도형은 대칭의 중심을 기준으로 180도 돌렸을 때 완전히 겹쳐지므로, 대칭의 중심에서 대응하는 두 점까지의 거리는 항상 같습니다.
📝 풀이 과정
- Step 1. 점대칭 도형은 대칭의 중심을 기준으로 180도 돌리면 원래 모양과 똑같아져요.
- Step 2. 시계의 시침과 분침이 12시를 가리키고 있다가 6시를 가리킬 때를 생각해 보세요. 시계의 중심에서 시침 끝까지의 거리와 분침 끝까지의 거리는 항상 같죠?
- Step 3. 대칭의 중심을 시계의 중심이라고 생각하면, 도형의 한 점과 그 점의 ‘짝꿍’인 대응점은 대칭의 중심에서 똑같은 거리에 떨어져 있어요.
- Step 4. 예를 들어, 평행사변형의 한 꼭짓점과 그 꼭짓점의 대응점은 대각선이 만나는 점(대칭의 중심)에서 똑같은 거리에 있어요.
- Step 5. 따라서 점대칭 도형에서 대칭의 중심을 기준으로 대응하는 점까지의 거리는 항상 같습니다.
문제 10. 합동인 두 도형은 선대칭 도형이라고 할 수 있나요? 그 이유는 무엇인가요?
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💡 핵심 개념
합동은 두 도형의 모양과 크기가 같은 것을 의미하고, 선대칭은 도형 자체가 특정 선을 기준으로 대칭인 성질을 의미합니다. 이 두 개념은 서로 다릅니다.
📝 풀이 과정
- Step 1. ‘합동’과 ‘선대칭’의 뜻을 다시 한번 생각해봅니다.
- Step 2. 합동은 두 개의 도형이 완전히 똑같이 생겼다는 뜻이에요. 예를 들어, 똑같은 모양의 사과 두 개가 합동이라고 할 수 있죠.
- Step 3. 선대칭은 하나의 도형이 어떤 선을 기준으로 접었을 때 양쪽이 똑같이 겹쳐지는 성질을 말해요. 예를 들어, 하트 모양은 가운데 선을 기준으로 접으면 양쪽이 똑같죠.
- Step 4. 똑같은 사과 두 개가 있다고 해서, 그 사과 하나하나가 모두 선대칭 도형인 것은 아니에요. 찌그러진 사과 두 개가 똑같이 생겼다면 합동이지만, 그 사과 자체가 선대칭은 아닐 수 있죠.
- Step 5. 따라서 합동인 두 도형이 항상 선대칭 도형이라고 말할 수는 없습니다. 합동은 두 도형 사이의 관계이고, 선대칭은 하나의 도형이 가진 성질이기 때문이에요.
✨ 마무리
오늘은 합동인 도형과 선대칭, 점대칭 도형에 대해 알아보았어요. 합동은 모양과 크기가 똑같은 도형을 말하고, 선대칭 도형은 대칭축을 기준으로 접으면 겹쳐지는 도형, 점대칭 도형은 대칭의 중심을 기준으로 180도 돌리면 겹쳐지는 도형이라는 것을 잘 기억해 주세요. 헷갈릴 때는 직접 그림을 그려보거나 물건을 돌려보면서 확인하면 더 쉽게 이해할 수 있을 거예요! 👍
다음 시간에는 더 재미있는 수학 개념으로 다시 만나요! 🚀
📌 문제지: 문제만 + 풀이 공간 추가 (학생에게 배포용). 답 쓸 줄 자동 생성.
📌 해설지: 문제 번호 + 정답·해설만 (선생님 채점용·학생 자가채점용). 문제 본문 생략.
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