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16주차: 정비례와 반비례
두 양 사이의 관계를 정비례와 반비례로 이해하고 그래프로 나타냅니다.
초등 수학 6학년 16회차: 정비례와 반비례
두 양 사이의 관계를 정비례와 반비례로 이해하고 그래프로 나타냅니다.
🚀 핵심 개념 설명
안녕하세요! 이번 시간에는 두 양이 서로 어떻게 변하는지 알아보는 ‘정비례’와 ‘반비례’에 대해 학습할 거예요. 📈📉
정비례는 한 양이 2배, 3배, …로 변할 때, 다른 양도 똑같이 2배, 3배, …로 변하는 관계를 말합니다. 예를 들어, 연필 한 자루에 500원이라면, 두 자루는 1000원, 세 자루는 1500원이죠. 연필 수가 늘어날수록 가격도 비례하여 늘어납니다. 이것을 식으로 나타내면 ‘y = ax’ (a는 0이 아닌 상수)와 같이 표현되며, 그래프로 그리면 원점을 지나는 직선이 됩니다.
반비례는 한 양이 2배, 3배, …로 변할 때, 다른 양은 1/2배, 1/3배, …로 변하는 관계를 말합니다. 예를 들어, 12개의 사탕을 친구들과 똑같이 나누어 먹을 때, 친구 수가 2명에서 4명으로 2배 늘어나면, 한 명이 받는 사탕의 수는 6개에서 3개로 1/2배 줄어듭니다. 이것을 식으로 나타내면 ‘y = a/x’ (a는 0이 아닌 상수)와 같이 표현되며, 그래프로 그리면 곡선 모양이 됩니다.
정비례와 반비례는 우리 주변에서 아주 흔하게 찾아볼 수 있는 관계들이에요. 이 관계들을 이해하면 복잡한 문제도 쉽게 해결할 수 있답니다! 그럼, 문제들을 풀어보면서 더 자세히 알아볼까요? 💪
문제 1. 다음 표는 한 변의 길이가 x cm인 정사각형의 둘레를 y cm라고 할 때, x와 y 사이의 관계를 나타낸 것입니다. x와 y는 어떤 관계인지 말하고, 식으로 나타내세요.
x (cm)
1
2
3
4
…
y (cm)
4
8
12
16
…
🔍 정답 확인
✅ 정답: 정비례 관계, y = 4x
💡 핵심 개념
정비례는 한 양(x)이 2배, 3배, …로 변할 때, 다른 양(y)도 똑같이 2배, 3배, …로 변하는 관계를 의미합니다. 이 관계는 ‘y = ax’ (a는 0이 아닌 상수)라는 식으로 표현됩니다.
📝 풀이 과정
Step 1. 표에서 x 값이 1, 2, 3, 4로 2배, 3배, 4배로 변할 때, y 값은 4, 8, 12, 16으로 변하는지 확인합니다.
Step 2. x가 1에서 2로 2배가 될 때, y는 4에서 8로 2배가 됩니다. x가 1에서 3으로 3배가 될 때, y는 4에서 12로 3배가 됩니다.
Step 3. 이처럼 x가 2배, 3배, …로 변할 때 y도 똑같이 2배, 3배, …로 변하므로, x와 y는 정비례 관계임을 알 수 있습니다.
Step 4. 정비례 관계의 식은 y = ax 형태이므로, 표의 값을 대입하여 a 값을 찾습니다. x=1일 때 y=4이므로, 4 = a × 1, 즉 a = 4입니다.
Step 5. 따라서 x와 y 사이의 관계식은 y = 4x입니다. 마치 사과 한 개에 1000원이라면, 사과 개수가 늘어날수록 총 가격도 똑같이 늘어나는 것과 같아요.
문제 2. 시속 60 km로 달리는 자동차가 x 시간 동안 이동한 거리를 y km라고 할 때, x와 y 사이의 관계를 식으로 나타내세요.
🔍 정답 확인
✅ 정답: y = 60x
💡 핵심 개념
거리는 속력과 시간을 곱한 값입니다 (거리 = 속력 × 시간). 만약 속력이 일정하다면, 시간이 2배, 3배 늘어날수록 이동 거리도 2배, 3배 늘어나므로 정비례 관계가 됩니다. 정비례 관계는 ‘y = ax’ 형태로 표현됩니다.
📝 풀이 과정
Step 1. 문제에서 주어진 정보는 속력이 시속 60 km로 일정하다는 것입니다. 이동 시간은 x 시간이고, 이동 거리는 y km입니다.
Step 2. 거리, 속력, 시간의 관계식 ‘거리 = 속력 × 시간’을 이용합니다.
Step 3. 이 식에 주어진 문자와 숫자를 대입하면, y = 60 × x가 됩니다.
Step 4. 따라서 x와 y 사이의 관계식은 y = 60x입니다. 이는 시간이 2배, 3배 늘어나면 이동 거리도 2배, 3배 늘어나는 정비례 관계입니다. 마치 한 시간에 5000원씩 받는 아르바이트처럼, 일하는 시간이 늘어날수록 받는 돈도 늘어나는 것과 같아요.
문제 3. 다음 중 y가 x에 정비례하는 관계식을 모두 고르세요.
① y = 5x
② y = x + 3
③ y = 10/x
④ y = x/2
① ② ③ ④ ⑤
🔍 정답 확인
✅ 정답: ①, ④
💡 핵심 개념
y가 x에 정비례하는 관계는 ‘y = ax’ (a는 0이 아닌 상수) 형태로 나타낼 수 있습니다. 여기서 a는 어떤 숫자가 될 수 있으며, x가 분모에 있거나 x에 어떤 수를 더하거나 빼는 형태는 정비례가 아닙니다.
📝 풀이 과정
Step 1. 정비례 관계의 기본 형태인 y = ax를 떠올립니다.
Step 2. 각 보기를 확인합니다.
① y = 5x: 이 식은 y = ax 형태에서 a가 5인 경우입니다. 따라서 정비례 관계입니다.
② y = x + 3: 이 식은 x에 3을 더한 형태이므로, x가 2배, 3배 될 때 y도 2배, 3배 되지 않습니다 (예: x=1, y=4; x=2, y=5). 따라서 정비례 관계가 아닙니다.
③ y = 10/x: 이 식은 x가 분모에 있는 형태이므로, 반비례 관계입니다. 따라서 정비례 관계가 아닙니다.
④ y = x/2: 이 식은 y = (1/2)x와 같으므로, y = ax 형태에서 a가 1/2인 경우입니다. 따라서 정비례 관계입니다.
Step 3. 따라서 정비례 관계식은 ①과 ④입니다. 마치 물건을 살 때 개수가 늘어날수록 가격이 정해진 비율로 늘어나는 것과 같아요.
문제 4. y가 x에 정비례하고, x = 3일 때 y = 12입니다. x = 5일 때 y의 값을 구하세요.
🔍 정답 확인
✅ 정답: 20
💡 핵심 개념
y가 x에 정비례한다는 것은 y = ax (a는 0이 아닌 상수)라는 관계식을 만족한다는 의미입니다. 주어진 x와 y 값을 이용하여 상수 a를 먼저 구한 후, 새로운 x 값에 대한 y 값을 계산할 수 있습니다.
📝 풀이 과정
Step 1. y가 x에 정비례하므로 관계식은 y = ax입니다.
Step 2. 주어진 조건 ‘x = 3일 때 y = 12’를 관계식에 대입하여 상수 a를 구합니다. 12 = a × 3 이므로, a = 12 ÷ 3 = 4입니다.
Step 3. 이제 정비례 관계식은 y = 4x가 됩니다.
Step 4. x = 5일 때의 y 값을 구하기 위해, y = 4x 식에 x = 5를 대입합니다. y = 4 × 5 = 20입니다.
Step 5. 따라서 x = 5일 때 y의 값은 20입니다. 마치 한 개에 400원 하는 과자가 있다면, 5개를 살 때 2000원이 되는 것과 같아요.
문제 5. 다음 표는 넓이가 24 cm²인 직사각형의 가로 길이를 x cm, 세로 길이를 y cm라고 할 때, x와 y 사이의 관계를 나타낸 것입니다. x와 y는 어떤 관계인지 말하고, 식으로 나타내세요.
x (cm)
1
2
3
4
…
y (cm)
24
12
8
6
…
🔍 정답 확인
✅ 정답: 반비례 관계, y = 24/x
💡 핵심 개념
반비례는 한 양(x)이 2배, 3배, …로 변할 때, 다른 양(y)은 1/2배, 1/3배, …로 변하는 관계를 의미합니다. 이 관계는 ‘y = a/x’ (a는 0이 아닌 상수)라는 식으로 표현됩니다.
📝 풀이 과정
Step 1. 표에서 x 값이 1, 2, 3, 4로 2배, 3배, 4배로 변할 때, y 값은 24, 12, 8, 6으로 변하는지 확인합니다.
Step 2. x가 1에서 2로 2배가 될 때, y는 24에서 12로 1/2배가 됩니다. x가 1에서 3으로 3배가 될 때, y는 24에서 8로 1/3배가 됩니다.
Step 3. 이처럼 x가 2배, 3배, …로 변할 때 y는 1/2배, 1/3배, …로 변하므로, x와 y는 반비례 관계임을 알 수 있습니다.
Step 4. 반비례 관계의 식은 y = a/x 형태이므로, 표의 값을 대입하여 a 값을 찾습니다. x=1일 때 y=24이므로, 24 = a/1, 즉 a = 24입니다.
Step 5. 따라서 x와 y 사이의 관계식은 y = 24/x입니다. 마치 24개의 사탕을 친구들과 나누어 먹을 때, 친구 수가 늘어날수록 한 명이 받는 사탕의 수는 줄어드는 것과 같아요.
문제 6. 100쪽짜리 책을 매일 x쪽씩 읽어서 y일 만에 다 읽는다고 할 때, x와 y 사이의 관계를 식으로 나타내세요.
🔍 정답 확인
✅ 정답: y = 100/x
💡 핵심 개념
총량을 일정한 비율로 나눌 때, 나누는 양이 늘어나면 결과값은 줄어들고, 나누는 양이 줄어들면 결과값은 늘어나는 관계를 반비례라고 합니다. 반비례 관계는 ‘y = a/x’ 형태로 표현됩니다.
📝 풀이 과정
Step 1. 문제에서 주어진 정보는 총 책의 쪽수가 100쪽이라는 것입니다. 매일 읽는 쪽수는 x쪽이고, 책을 다 읽는 데 걸리는 일수는 y일입니다.
Step 2. ‘총 쪽수 = 매일 읽는 쪽수 × 일수’라는 관계를 생각할 수 있습니다.
Step 3. 이 식에 주어진 문자와 숫자를 대입하면, 100 = x × y가 됩니다.
Step 4. y에 대한 식으로 정리하기 위해 양변을 x로 나누면, y = 100/x가 됩니다.
Step 5. 따라서 x와 y 사이의 관계식은 y = 100/x입니다. 이는 매일 읽는 쪽수가 2배, 3배 늘어나면 책을 다 읽는 데 걸리는 일수는 1/2배, 1/3배 줄어드는 반비례 관계입니다. 마치 정해진 양의 일을 여러 사람이 나누어 할 때, 사람 수가 늘어날수록 한 사람당 걸리는 시간이 줄어드는 것과 같아요.
문제 7. 다음 중 y가 x에 반비례하는 관계식을 모두 고르세요.
① y = 7x
② y = 20/x
③ xy = 5
④ y = x – 4
① ② ③ ④ ⑤
🔍 정답 확인
✅ 정답: ②, ③
💡 핵심 개념
y가 x에 반비례하는 관계는 ‘y = a/x’ (a는 0이 아닌 상수) 형태로 나타낼 수 있습니다. 이 식은 양변에 x를 곱하면 ‘xy = a’ 형태로도 표현될 수 있습니다.
📝 풀이 과정
Step 1. 반비례 관계의 기본 형태인 y = a/x 또는 xy = a를 떠올립니다.
Step 2. 각 보기를 확인합니다.
① y = 7x: 이 식은 y = ax 형태이므로 정비례 관계입니다. 따라서 반비례 관계가 아닙니다.
② y = 20/x: 이 식은 y = a/x 형태에서 a가 20인 경우입니다. 따라서 반비례 관계입니다.
③ xy = 5: 이 식은 양변을 x로 나누면 y = 5/x가 됩니다. 이는 y = a/x 형태에서 a가 5인 경우입니다. 따라서 반비례 관계입니다.
④ y = x – 4: 이 식은 x에 4를 뺀 형태이므로, x가 2배, 3배 될 때 y는 1/2배, 1/3배 되지 않습니다 (예: x=5, y=1; x=10, y=6). 따라서 반비례 관계가 아닙니다.
Step 3. 따라서 반비례 관계식은 ②와 ③입니다. 마치 일정한 양의 물건을 여러 명이 나눌 때, 사람 수가 늘어날수록 한 명이 받는 물건의 수가 줄어드는 것과 같아요.
문제 8. y가 x에 반비례하고, x = 4일 때 y = 5입니다. x = 10일 때 y의 값을 구하세요.
🔍 정답 확인
✅ 정답: 2
💡 핵심 개념
y가 x에 반비례한다는 것은 y = a/x (a는 0이 아닌 상수) 또는 xy = a라는 관계식을 만족한다는 의미입니다. 주어진 x와 y 값을 이용하여 상수 a를 먼저 구한 후, 새로운 x 값에 대한 y 값을 계산할 수 있습니다.
📝 풀이 과정
Step 1. y가 x에 반비례하므로 관계식은 y = a/x 또는 xy = a입니다. xy = a를 사용하는 것이 더 편리할 수 있습니다.
Step 2. 주어진 조건 ‘x = 4일 때 y = 5’를 관계식 xy = a에 대입하여 상수 a를 구합니다. 4 × 5 = a 이므로, a = 20입니다.
Step 3. 이제 반비례 관계식은 y = 20/x 또는 xy = 20이 됩니다.
Step 4. x = 10일 때의 y 값을 구하기 위해, y = 20/x 식에 x = 10을 대입합니다. y = 20 ÷ 10 = 2입니다.
Step 5. 따라서 x = 10일 때 y의 값은 2입니다. 마치 20개의 사탕을 여러 친구가 나누어 먹을 때, 친구가 10명이라면 한 명당 2개씩 받는 것과 같아요.
문제 9. 다음 그래프 중 y가 x에 정비례하는 관계를 나타내는 것은 어느 것인가요?
① 원점을 지나지 않는 직선
② 원점을 지나는 직선
③ 곡선
④ 점들로 이루어진 그래프
① ② ③ ④ ⑤
🔍 정답 확인
✅ 정답: ②
💡 핵심 개념
y가 x에 정비례하는 관계식은 y = ax (a는 0이 아닌 상수)입니다. 이 식의 그래프는 항상 원점(0,0)을 지나는 직선의 형태를 가집니다. x가 0일 때 y도 0이 되기 때문입니다.
📝 풀이 과정
Step 1. 정비례 관계의 특징을 떠올립니다. 정비례는 x가 0일 때 y도 0이 됩니다.
Step 2. 정비례 관계식 y = ax에서 x에 0을 대입하면 y = a × 0 = 0이 됩니다. 즉, (0, 0)이라는 점을 항상 지납니다.
Step 3. 또한, 정비례 관계는 x가 일정한 비율로 변할 때 y도 일정한 비율로 변하므로, 그래프는 직선의 형태를 가집니다.
Step 4. 따라서 정비례 관계를 나타내는 그래프는 ‘원점을 지나는 직선’입니다. 마치 자전거를 일정한 속도로 탈 때, 시간이 지날수록 이동 거리가 꾸준히 늘어나는 것을 그래프로 그리면 원점에서 시작하는 직선이 되는 것과 같아요.
문제 10. 다음 중 y = 6/x 그래프의 특징으로 옳은 것은 무엇인가요?
① 원점을 지나는 직선이다.
② 원점을 지나지 않는 직선이다.
③ 좌표축에 점점 가까워지는 곡선이다.
④ x축에만 가까워지는 곡선이다.
① ② ③ ④ ⑤
🔍 정답 확인
✅ 정답: ③
💡 핵심 개념
y가 x에 반비례하는 관계식은 y = a/x (a는 0이 아닌 상수)입니다. 이 식의 그래프는 원점을 지나지 않고, x축과 y축에 점점 가까워지는 곡선의 형태를 가집니다. 이를 ‘쌍곡선’이라고 부르기도 합니다.
📝 풀이 과정
Step 1. 주어진 식 y = 6/x는 반비례 관계식입니다.
Step 2. 반비례 관계의 그래프는 정비례와 달리 직선이 아닌 곡선 형태를 가집니다.
Step 3. 또한, x가 0이 될 수 없으므로(분모가 0이 되면 안 됨), y축과 만나지 않습니다. 마찬가지로 y가 0이 될 수 없으므로(6을 어떤 수로 나누어도 0이 될 수 없음), x축과도 만나지 않습니다.
Step 4. x 값이 커질수록 y 값은 0에 가까워지고, x 값이 0에 가까워질수록 y 값은 매우 커지거나 매우 작아집니다. 이러한 특징 때문에 그래프는 좌표축에 점점 가까워지는 곡선이 됩니다.
Step 5. 따라서 y = 6/x 그래프의 특징으로 옳은 것은 ‘좌표축에 점점 가까워지는 곡선이다’입니다. 마치 일정한 양의 물을 여러 컵에 나누어 담을 때, 컵의 수가 늘어날수록 한 컵에 담기는 물의 양이 줄어들지만 0이 되지는 않는 것과 같아요.
✨ 마무리
이번 시간에는 정비례와 반비례에 대해 깊이 있게 학습했습니다. 👏
정비례는 한 양이 2배, 3배 늘어날 때 다른 양도 똑같이 2배, 3배 늘어나는 관계 (y = ax)이며, 그래프는 원점을 지나는 직선이라는 것을 기억하세요.
반비례는 한 양이 2배, 3배 늘어날 때 다른 양은 1/2배, 1/3배 줄어드는 관계 (y = a/x 또는 xy = a)이며, 그래프는 좌표축에 점점 가까워지는 곡선이라는 것을 이해했습니다.
이 두 가지 관계는 실생활에서도 매우 중요하게 사용되니, 오늘 배운 내용을 잘 복습하고 주변에서 정비례와 반비례 관계를 찾아보는 연습을 해보세요! 다음 시간에는 더 재미있는 수학 개념으로 만나요! 안녕! 👋
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📌 문제지: 문제만 + 풀이 공간 추가 (학생에게 배포용). 답 쓸 줄 자동 생성.
📌 해설지: 문제 번호 + 정답·해설만 (선생님 채점용·학생 자가채점용). 문제 본문 생략.
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