📢 프린트 학습지로 인쇄하여 이용할 수 있습니다. 화면 아래에 있는 인쇄 버튼을 사용해 보세요.
📚
15주차: 비례식과 비례배분
비례식의 성질을 이해하고 비례배분 문제를 해결합니다.
초등 수학 6학년 15회차: 비례식과 비례배분
회차 설명: 비례식의 성질을 이해하고 비례배분 문제를 해결합니다.
난이도: 3/5
키워드: 비례식, 비례배분, 비례식 풀이
🚀 핵심 개념 설명
친구들, 안녕하세요! 오늘은 비례식과 비례배분이라는 재미있는 수학 개념을 함께 알아볼 거예요. 비례식은 두 비율이 서로 같음을 나타내는 식이에요. 예를 들어, ‘1:2는 2:4와 같다’는 것을 비례식으로 나타낼 수 있죠.
비례식에서는 ‘외항의 곱은 내항의 곱과 같다’는 아주 중요한 성질이 있어요. 이것을 활용하면 비례식에 있는 모르는 값을 쉽게 찾을 수 있답니다.
비례배분은 전체를 주어진 비에 따라 나누는 것을 말해요. 예를 들어, 사탕 10개를 동생과 내가 2:3으로 나누어 가진다면, 동생은 4개, 나는 6개를 가지게 되는 거죠. 비례배분 문제를 풀 때는 전체를 비의 합으로 나눈 다음, 각 부분의 비를 곱해주면 된답니다. 이 두 가지 개념을 잘 이해하면 다양한 문제들을 척척 해결할 수 있을 거예요.
그럼, 이제 문제를 풀면서 더 자세히 알아볼까요?
문제 1. 다음 비례식에서 □ 안에 알맞은 수를 구하시오. 3 : 5 = 9 : □
🔍 정답 확인
✅ 정답: 15
💡 핵심 개념
비례식의 성질: 비례식에서 외항의 곱은 내항의 곱과 같습니다. 즉, a : b = c : d 일 때, a × d = b × c 입니다.
📝 풀이 과정
Step 1. 주어진 비례식은 3 : 5 = 9 : □ 입니다. 여기서 외항은 3과 □이고, 내항은 5와 9입니다.
Step 2. 비례식의 성질을 이용하여 외항의 곱과 내항의 곱이 같다고 식을 세웁니다. 3 × □ = 5 × 9 입니다.
Step 3. 내항의 곱을 계산합니다. 5 × 9 = 45 입니다.
Step 4. 이제 3 × □ = 45 라는 식을 풀면 됩니다. □에 어떤 수를 곱해야 45가 되는지 생각합니다.
Step 5. □를 구하기 위해 45를 3으로 나눕니다. 45 ÷ 3 = 15 입니다. 따라서 □ 안에 알맞은 수는 15입니다. 마치 사과 3개가 900원일 때, 사과 5개는 얼마인지 계산하는 것과 같아요.
문제 2. 4 : 7 = □ : 21 일 때, □의 값을 구하시오.
🔍 정답 확인
✅ 정답: 12
💡 핵심 개념
비례식의 성질: 비례식에서 외항의 곱은 내항의 곱과 같습니다. 또한, 비의 성질을 이용하여 한 비의 전항과 후항에 같은 수를 곱하거나 나누어도 비율은 같습니다.
📝 풀이 과정
Step 1. 주어진 비례식은 4 : 7 = □ : 21 입니다.
Step 2. 비례식의 성질을 이용해 외항의 곱과 내항의 곱이 같다고 식을 세웁니다. 4 × 21 = 7 × □ 입니다.
Step 3. 외항의 곱을 계산합니다. 4 × 21 = 84 입니다.
Step 4. 이제 84 = 7 × □ 라는 식을 풀어 □를 구합니다.
Step 5. □를 구하기 위해 84를 7로 나눕니다. 84 ÷ 7 = 12 입니다. 따라서 □의 값은 12입니다. 다른 방법으로는, 7이 21이 되려면 3을 곱해야 하므로, 4에도 똑같이 3을 곱하면 12가 됩니다.
문제 3. 어떤 두 수의 비가 2 : 3이고, 두 수의 합이 35일 때, 두 수를 각각 구하시오.
🔍 정답 확인
✅ 정답: 14, 21
💡 핵심 개념
비례배분: 전체를 주어진 비에 따라 나누는 방법입니다. 전체 양을 비의 합으로 나눈 후, 각 부분의 비에 곱하여 각 몫을 구합니다.
📝 풀이 과정
Step 1. 두 수의 비는 2 : 3이고, 두 수의 합은 35입니다.
Step 2. 비의 합을 구합니다. 2 + 3 = 5 입니다. 이것은 전체를 5조각으로 나눈다고 생각할 수 있습니다.
Step 3. 전체 합 35를 비의 합 5로 나눕니다. 35 ÷ 5 = 7 입니다. 이 값은 비의 한 조각에 해당하는 크기입니다.
Step 4. 첫 번째 수를 구합니다. 첫 번째 수의 비는 2이므로, 7에 2를 곱합니다. 7 × 2 = 14 입니다.
Step 5. 두 번째 수를 구합니다. 두 번째 수의 비는 3이므로, 7에 3을 곱합니다. 7 × 3 = 21 입니다.
Step 6. 따라서 두 수는 각각 14와 21입니다. 14와 21을 더하면 35가 되는 것을 확인할 수 있습니다. 마치 피자 5조각을 2:3으로 나누어 먹는 것과 같아요.
문제 4. 연필 40자루를 동생과 형이 3 : 5의 비로 나누어 가지려고 합니다. 형은 연필을 몇 자루 가지게 되나요?
🔍 정답 확인
✅ 정답: 25자루
💡 핵심 개념
비례배분: 전체를 주어진 비에 따라 나누는 방법입니다. 전체 양을 비의 합으로 나눈 후, 각 부분의 비에 곱하여 각 몫을 구합니다.
📝 풀이 과정
Step 1. 전체 연필 수는 40자루이고, 동생과 형이 나누는 비는 3 : 5입니다.
Step 2. 비의 합을 구합니다. 3 + 5 = 8 입니다.
Step 3. 전체 연필 수 40자루를 비의 합 8로 나눕니다. 40 ÷ 8 = 5 입니다. 이것은 비의 한 조각에 해당하는 연필 수입니다.
Step 4. 형이 가지는 비는 5이므로, 5에 5를 곱합니다. 5 × 5 = 25 입니다.
Step 5. 따라서 형은 연필을 25자루 가지게 됩니다. 동생은 5 × 3 = 15자루를 가지게 되고, 둘을 합하면 15 + 25 = 40자루가 됩니다.
문제 5. 어떤 액체 600mL를 A와 B 두 용기에 7 : 3의 비로 나누어 담으려고 합니다. A 용기에 담기는 액체의 양은 몇 mL인가요?
🔍 정답 확인
✅ 정답: 420mL
💡 핵심 개념
비례배분: 전체를 주어진 비에 따라 나누는 방법입니다. 전체 양을 비의 합으로 나눈 후, 각 부분의 비에 곱하여 각 몫을 구합니다.
📝 풀이 과정
Step 1. 전체 액체 양은 600mL이고, A와 B 용기에 나누는 비는 7 : 3입니다.
Step 2. 비의 합을 구합니다. 7 + 3 = 10 입니다.
Step 3. 전체 액체 양 600mL를 비의 합 10으로 나눕니다. 600 ÷ 10 = 60 입니다. 이것은 비의 한 조각에 해당하는 액체의 양입니다.
Step 4. A 용기에 담기는 비는 7이므로, 60에 7을 곱합니다. 60 × 7 = 420 입니다.
Step 5. 따라서 A 용기에는 420mL의 액체가 담깁니다. B 용기에는 60 × 3 = 180mL가 담기며, 둘을 합하면 420 + 180 = 600mL가 됩니다.
문제 6. 1.5 : 2 = 3 : □ 일 때, □의 값을 구하시오.
🔍 정답 확인
✅ 정답: 4
💡 핵심 개념
비례식의 성질: 비례식에서 외항의 곱은 내항의 곱과 같습니다. 소수가 포함된 비례식도 동일한 방법으로 해결할 수 있습니다.
📝 풀이 과정
Step 1. 주어진 비례식은 1.5 : 2 = 3 : □ 입니다.
Step 2. 비례식의 성질을 이용하여 외항의 곱과 내항의 곱이 같다고 식을 세웁니다. 1.5 × □ = 2 × 3 입니다.
Step 3. 내항의 곱을 계산합니다. 2 × 3 = 6 입니다.
Step 4. 이제 1.5 × □ = 6 이라는 식을 풀어 □를 구합니다.
Step 5. □를 구하기 위해 6을 1.5로 나눕니다. 6 ÷ 1.5 = 60 ÷ 15 = 4 입니다. 따라서 □의 값은 4입니다.
문제 7. 1/2 : 1/3 = □ : 4 일 때, □의 값을 구하시오.
🔍 정답 확인
✅ 정답: 6
💡 핵심 개념
비례식의 성질: 비례식에서 외항의 곱은 내항의 곱과 같습니다. 분수가 포함된 비례식도 동일한 방법으로 해결할 수 있습니다.
📝 풀이 과정
Step 1. 주어진 비례식은 1/2 : 1/3 = □ : 4 입니다.
Step 2. 비례식의 성질을 이용하여 외항의 곱과 내항의 곱이 같다고 식을 세웁니다. 1/2 × 4 = 1/3 × □ 입니다.
Step 3. 외항의 곱을 계산합니다. 1/2 × 4 = 2 입니다.
Step 4. 이제 2 = 1/3 × □ 라는 식을 풀어 □를 구합니다.
Step 5. □를 구하기 위해 2를 1/3로 나눕니다. 분수의 나눗셈은 나누는 수의 역수를 곱하는 것과 같습니다. 2 ÷ 1/3 = 2 × 3/1 = 6 입니다. 따라서 □의 값은 6입니다.
문제 8. 어떤 모둠의 남학생 수와 여학생 수의 비가 5 : 4이고, 전체 학생 수가 27명일 때, 남학생은 몇 명인가요?
🔍 정답 확인
✅ 정답: 15명
💡 핵심 개념
비례배분: 전체를 주어진 비에 따라 나누는 방법입니다. 전체 양을 비의 합으로 나눈 후, 각 부분의 비에 곱하여 각 몫을 구합니다.
📝 풀이 과정
Step 1. 남학생 수와 여학생 수의 비는 5 : 4이고, 전체 학생 수는 27명입니다.
Step 2. 비의 합을 구합니다. 5 + 4 = 9 입니다.
Step 3. 전체 학생 수 27명을 비의 합 9로 나눕니다. 27 ÷ 9 = 3 입니다. 이것은 비의 한 조각에 해당하는 학생 수입니다.
Step 4. 남학생의 비는 5이므로, 3에 5를 곱합니다. 3 × 5 = 15 입니다.
Step 5. 따라서 남학생은 15명입니다. 여학생은 3 × 4 = 12명이고, 둘을 합하면 15 + 12 = 27명이 됩니다.
문제 9. 두 사람이 36,000원을 4 : 5의 비로 나누어 가지려고 합니다. 더 많이 가지는 사람은 얼마를 가지게 되나요?
🔍 정답 확인
✅ 정답: 20,000원
💡 핵심 개념
비례배분: 전체를 주어진 비에 따라 나누는 방법입니다. 전체 양을 비의 합으로 나눈 후, 각 부분의 비에 곱하여 각 몫을 구합니다.
📝 풀이 과정
Step 1. 전체 금액은 36,000원이고, 나누는 비는 4 : 5입니다.
Step 2. 비의 합을 구합니다. 4 + 5 = 9 입니다.
Step 3. 전체 금액 36,000원을 비의 합 9로 나눕니다. 36,000 ÷ 9 = 4,000 입니다. 이것은 비의 한 조각에 해당하는 금액입니다.
Step 4. 더 많이 가지는 사람은 비가 더 큰 쪽, 즉 5에 해당하는 사람입니다.
Step 5. 4,000원에 5를 곱합니다. 4,000 × 5 = 20,000 입니다.
Step 6. 따라서 더 많이 가지는 사람은 20,000원을 가지게 됩니다. 다른 사람은 4,000 × 4 = 16,000원을 가지게 됩니다.
문제 10. 가로와 세로의 비가 3 : 2인 직사각형이 있습니다. 이 직사각형의 둘레가 50cm일 때, 가로의 길이는 몇 cm인가요?
🔍 정답 확인
✅ 정답: 15cm
💡 핵심 개념
비례배분: 전체를 주어진 비에 따라 나누는 방법입니다. 직사각형의 둘레는 (가로 + 세로) × 2 이므로, 먼저 가로와 세로의 합을 구해야 합니다.
Step 3. 이제 가로와 세로의 합 25cm를 3 : 2의 비로 비례배분합니다. 먼저 비의 합을 구합니다. 3 + 2 = 5 입니다.
Step 4. 가로와 세로의 합 25cm를 비의 합 5로 나눕니다. 25 ÷ 5 = 5 입니다. 이것은 비의 한 조각에 해당하는 길이입니다.
Step 5. 가로의 비는 3이므로, 5에 3을 곱합니다. 5 × 3 = 15 입니다.
Step 6. 따라서 가로의 길이는 15cm입니다. 세로의 길이는 5 × 2 = 10cm이고, 둘레는 (15 + 10) × 2 = 25 × 2 = 50cm가 되어 맞습니다.
🌟 마무리
친구들, 오늘 비례식과 비례배분에 대해 열심히 공부해 보았어요! 비례식의 ‘외항의 곱은 내항의 곱과 같다’는 성질과, 전체를 비의 합으로 나누어 각 부분을 구하는 비례배분 방법을 잘 기억하고 있나요? 이 두 가지 개념은 앞으로 수학 공부를 하면서 정말 자주 만나게 될 중요한 내용이랍니다. 다양한 문제들을 풀어보면서 개념을 확실하게 다졌기를 바랍니다.
다음 회차에서는 ‘정비례와 반비례’에 대해 학습할 예정이에요. 오늘 배운 비례식과도 연결되는 내용이니, 오늘 배운 내용을 잘 복습하고 다음 시간에 만나요! 🚀
📄 학습지 인쇄·PDF 다운로드
📌 문제지: 문제만 + 풀이 공간 추가 (학생에게 배포용). 답 쓸 줄 자동 생성.
📌 해설지: 문제 번호 + 정답·해설만 (선생님 채점용·학생 자가채점용). 문제 본문 생략.
📌 잉크 절약: 배경 흰색 + 검은 글자 (잉크 30~70% 절약). SVG 그림은 유지.
📌 PDF 파일명: 브라우저 인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하세요.
